Fungsi Eksponensial & Fungsi Logaritma

Fungsi Eksponensial

(Exponential Functions)

Fungsi eksponensial atau biasa disebut "Fungsi Kuadrat" memiliki peranan penting dalam kehidupan sehari-hari, tidak hanya dalam matematika tetapi juga dalam bisnis, ekonomi, dan bidang studi lainnya. Fungsi eksponensial digunakan untuk model hubungan di mana perubahan konstan dalam variabel independen memberikan perubahan proporsional yang sama (yaitu persentasekenaikan atau penurunan) dalam variabel dependen.

Berikut merupakan aturan-aturan dalam bilangan kuadrat, Jika a dan b bilangan elemen bilangan real (a≠0 dan b≠0) serta m dan n bilangan rasional maka:

Ø  a^maⁿ = a^m+n

Contoh: 2²2³ = 2²⁺³ = 2⁵

Ø  a^m : aⁿ = a^m-n

Contoh: 2^{5 :} 2² = 2^5-2 = 2³

Ø  (a^m)ⁿ = a^mn

Contoh: (3²)³ = 3^3.2 = 3⁶

Ø  (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

Contoh: (2/3)³ = 2³/3³

Ø  a¹ = a

Contoh: 5¹ = 5

Ø  a⁰ = 1

Contoh: 5⁰ = 5

Ø  (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Contoh: (3.2)⁴ = 3⁴2⁴

Ø  a^-n = 1/aⁿ

Contoh: 4^-5 = 1/4⁵

Fungsi Logaritma

(Logarithmic Functions)

Fungsi logaritma adalah invers (kebalikan) dari fungsi eksponensial atau pemangkatan.

Rumus dasar logaritma:  

^bc = a ditulis sebagai  ^bloga = c (b disebut basis)

Beberapa orang menuliskan  ^bloga = c sebagai log_ba = c

Ø  ª log a = 1
Contoh: ⁶ log 6 = 1

Ø  ª log 1 = 0
Contoh: ⁶ log 1 = 0

Ø  ª log aⁿ = n
Contoh: ⁶ log 6⁷ = 7

Ø  ª log bⁿ = n • ª log b
Contoh: ⁶ log 7⁸ = 8 • ⁶ log 7

Ø  ª log b • c = ª log b + ª log c

^Contoh:6 log 7 • 8 = ⁶ log 7 + ⁶ log 8

Ø  ª log ^b/c = ª log b – ª log c
Contoh: ⁶ log ⁷/₈ = ⁶ log 7 – ⁶ log 8

Ø  ªˆⁿ log b ^m = ^m/n • ª log b
Contoh: ^{6^7} log 8⁹ = ⁹/₇ • ⁶ log 8

Ø  ª log b • ^b log c • ^c log d = ª log d
Contoh: ⁶ log 7 • ⁷ log 8 • ⁸ log 9 = ⁶ log 9

Ø  ª log b = 1 ÷ ^b log a
Contoh: ⁶ log 7 = 1 ÷ ⁷ log 6

Ø  ª log b = ^c log b ÷ ^c log a
Contoh: ⁶ log 7 = ⁹ log 7 ÷ ⁹ log 6

Persamaan Eksponensial

(Exponential Equations)

Persamaan Eksponen adalah persamaan yang peubahnya berfungsi sebagai eksponen (pangkat) dari suatu bilangan berpangkat. 

Beberapa  persamaan eksponensial  dapat diselesaikan dengan menggunakan fakta bahwa fungsi eksponensial adalah satu-ke-satu. Dengan kata lain,  fungsi eksponensial tidak mengambil dua nilai yang berbeda ke nomor yang sama.

Contoh:

3 ^x+2 = 27

3 ^x+2 = 3³

x+2  = 3

x = 1

Logarithmic Equations

(Persamaan Logaritma)

Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagai numerus atau sebagai bilangan pokok dari suatu logaritma.

Ketika  memecahkan persamaan eksponensial  kita sering menggunakan identitas logaritmik 1 karena melibatkan menerapkan  fungsi logaritma untuk "membatalkan" efek dari fungsi eksponensial.  Ketika berhadapan dengan persamaan  logaritmik kita akan menggunakan identitas logaritmik  2 di mana fungsi eksponensial diterapkan untuk "membatalkan" efek dari fungsi logaritma. Perhatikan contoh berikut ini :

Contoh (1):

2 log x = 12log x = 6

10^{log x} = 10⁶
log x = 6

Contoh(2):
Tentukanlah penyelesaian ²log(x-2) = 4 !

^alogf(x) = ^a log m

²log(x-2) = 4

²log (x-2) = ²log2⁴

(x-2) = 2⁴

x = 16

Jadi penyelesaian 2log(x-2) = 4 adalah 1